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已知橢圓的焦點為F1(-2,0),F2(2,0)橢圓上有一點C(5/2,-3/2),求橢圓的標準方程

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由焦點F?(-2,0)、F?(2,0)知中心在原點，c=2。設橢圓方程為$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，且$a^2 = b^2 + c^2$。將C(5/2,-3/2)代入得：
$$
frac{(5/2)^2}{a^2}+frac{(-3/2)^2}{b^2}=1
$$
結合$a^2 = b^2 + 4$解得：$a^2=10,,b^2=6$。故標準方程為
$$
frac{x^2}{10}+frac{y^2}{6}=1
$$
9137meng

∠F1PF2=θ 記|F1P|=x |F2P|=y |F1F2|=z 由橢圓的定義 x+y=2a z=2c 由余弦定理 x^2+y^2-2xycosθ=z^2 (x+y)^2-2xy(cosθ+1)=z^2 4a^2-2xy(cosθ+1)=4c^2 xy=2(a^2-c^2)/(cosθ+1) xy=2b^2/(cosθ+1) S=1/2*xy*sinθ =1/2*[2b^2/(cosθ+1)]*sinθ =b^2*sinθ/(cosθ+1) [2倍角公式] =b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/[2(cosθ)^2-1+1] =b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2) =b^2*tan(θ/2)
yb680210

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dyw6115

設P(x0,y0),那么(|PF1||PF2|)^2=[(x0-4)^2+y0^2][(x0+4)^2+y0^2]
因為x0^2/25+y0^2/9=1,所以y0^2=9-9x0^2/25,
所以(|PF1||PF2|)^2=(16x0^2/25-8x0+25)(16x0^2/25+8x0+25)
=(1/25)^2 [16x0^2-200x0+625][16x0^2+200x0+625]
=(1/25)^2 (4x0-25)^2 (4x0+25)^2
=(1/25)^2 (16x0-625)^2
由于0≤x0^2≤25,所以-625≤16x0-625≤-225
所以9≤|PF1||PF2|≤25
所以所求最小=9(P在y軸)
ZOOM0027

橢圓的兩個焦點坐標f1(-2,0)f2(2,0）則可設橢圓為x?/a?+y?/b?=1 a?=b?+4 25/4a?+9/4b?=1 解得a?=10 ,b?=6 所以橢圓方程為x?/10+y?/6=1
baidu_123yanggua

設橢圓標準方程為
x^2/a^2+y^2/b^2=1
點C(5/2,-3/2)在橢圓上
25/4a^2+9/4b^2=1
c=2
a^2-b^2=c^2=4
解得：
a^2=10 b^2= 6
橢圓的標準方程x^2/10+y^2/6=1

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